好的，我们先一步步来分析这个题目

题目给的是： \[ y'' + y = \cot x \] 我们要求它的通解。 --- ## **1. 对应的齐次方程** 齐次方程： \[ y'' + y = 0 \] 特征方程： \[ r^2 + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm i \] 所以齐次通解为： \[ y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x \] --- ## **2. 用参数变易法求特解** 设 \[ y_p = u_1(x) \cos x + u_2(x) \sin x \] 其中 \( u_1, u_2 \) 满足： \[ \begin{cases} u_1' \cos x + u_2' \sin x = 0 \\ -u_1' \sin x + u_2' \cos x = \cot x \end{cases} \] --- ## **3. 解 \( u_1', u_2' \)** 个方程： \[ u_1' \cos x + u_2' \sin x = 0 \quad (1) \] 第二个方程： \[ -u_1' \sin x + u_2' \cos x = \cot x \quad (2) \] 将 (1) 和 (2) 看作关于 \( u_1', u_2' \) 的线性方程组，系数矩阵的行列式： \[ W = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \] 用克莱姆法则： \[ u_1' = \frac{\begin{vmatrix} 0 & \sin x \\ \cot x & \cos x \end{vmatrix}}{1} = 0 \cdot \cos x - \sin x \cdot \cot x \] 注意这里小心算： \[ \det\begin{pmatrix} 0 & \sin x \\ \cot x & \cos x \end{pmatrix} = 0 \cdot \cos x - \sin x \cdot \cot x \] \[ = -\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\cos x \] 所以： \[ u_1' = -\cos x \] \[ u_2' = \frac{\begin{vmatrix} \cos x & 0 \\ -\sin x & \cot x \end{vmatrix}}{1} = \cos x \cdot \cot x - 0 \cdot (-\sin x) \] \[ = \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\cos^2 x}{\sin x} \] --- ## **4. 积分求 \( u_1, u_2 \)** \[ u_1 = \int -\cos x \, dx = -\sin x \] \[ u_2 = \int \frac{\cos^2 x}{\sin x} \, dx \] 利用 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)： \[ \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x} - \sin x \] 所以： \[ u_2 = \int \csc x \, dx - \int \sin x \, dx \] \[ = \ln|\csc x - \cot x| + \cos x \] （\(\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C\) 是常用公式） --- ## **5. 特解 \( y_p \)** \[ y_p = u_1 \cos x + u_2 \sin x \] \[ = (-\sin x) \cos x + \left[ \ln|\csc x - \cot x| + \cos x \right] \sin x \] \[ = -\sin x \cos x + \sin x \ln|\csc x - \cot x| + \sin x \cos x \] 注意 \(-\sin x \cos x\) 与 \(+\sin x \cos x\) 抵消。 所以： \[ y_p = \sin x \cdot \ln|\csc x - \cot x| \] --- ## **6. 通解** \[ y = y_h + y_p \] \[ y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \sin x \cdot \ln|\csc x - \cot x| \] --- **最终答案：** \[ \boxed{y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \sin x \cdot \ln|\csc x - \cot x|} \]