好的，我们先一步步推理

--- ## **题目** \( 6. 24 \) 通常意味着十进制的小数 \( 6. 24 \)，要把它转成二进制。 --- ### **1. 分解整数部分和小数部分** \[ 6. 24 = 6 + 0. 24 \] --- ### **2. 整数部分 6 转二进制** - \( 6 \div 2 = 3 \) 余 \( 0 \) - \( 3 \div 2 = . 5 \) 余 \( 1 \) - \( 1 \div 2 = 0 \) 余 \( 1 \) 倒着写余数： \[ 6_{10} = 110_2 \] --- ### **3. 小数部分 0. 24 转二进制** 方法：不断乘 2，取整数部分（0 或 1），再用小数部分继续乘。 - \( 0. 24 \times 2 = 0. 48 \) → 整数部分 \( 0 \) - \( 0. 48 \times 2 = 0. 96 \) → 整数部分 \( 0 \) - \( 0. 96 \times Proceed \) \( 0. 96 \times 2 = 1. 92 \) → 整数部分 \( 1 \) - \( 0. 92 \times 2 = 1. 84 \) → 整数部分 \( 1 \) - \( 0. 84 \times 2 = 1. 68 \) → 整数部分 \( 1 \) - \( 0. 68 \times 2 = 1. 36 \) → 整数部分 \( 1 \) - \( 0. 36 \times 2 = 0. 72 \) → 整数部分 \( 0 \) - \( 0. 72 \times 2 = 1. 44 \) → 整数部分 \( 1 \) - \( 0. 44 \times 2 = 0. 88 \) → 整数部分 \( 0 \) - \( 0. 88 \times 2 = 1. 76 \) → 整数部分 \( 1 \) - \( 0. 76 \times 2 = 1. 52 \) → 整数部分 \( 1 \) - \( 0. 52 \times 2 = 1. 04 \) → 整数部分 \( 1 \) - \( 0. 04 \times 2 = 0. 08 \) → 整数部分 \( 0 \) - \( 0. 08 \times 2 = 0. 16 \) → 整数部分 \( 0 \) - \( 0. 16 \times 2 = 0. 32 \) → 整数部分 \( 0 \) - \( 0. 32 \times 2 = 0. 64 \) → 整数部分 \( 0 \) - \( 0. 64 \times 2 = 1. 28 \) → 整数部分 \( 1 \) - \( 0. 28 \times 2 = 0. 56 \) → 整数部分 \( 0 \) - \( 0. 56 \times 2 = 1. 12 \) → 整数部分 \( 1 \) - \( 0. 12 \times 2 = 0. 24 \) → 整数部分 \( 0 \) - 这里 \( 0. 24 \) 重复了，所以是循环二进制小数。 从第一次乘 2 开始的小数部分二进制位为： \[ 0. 24_{10} = 0. \overline{0011110101110000101000111101011100001010001111010111. . . } \] 等等，需要准确找到循环节。 --- ### **4. 观察循环** 乘 2 过程中，我们得到前几位： 0. 24 → 0. 48(0) → 0. 96(0) → 1. 92(1) → 0. 92 → 1. 84(1) → 0. 84 → 1. 68(1) → 0. 68 → 1. 36(1) → 0. 36 → 0. 72(0) → 1. 44(1) → 0. 44 → 0. 88(0) → 1. 76(1) → 0. 76 → 1. 52(1) → 0. 52 → 1. 04(1) → 0. 04 → 0. 08(0) → 0. 16(0) → 0. 32(0) → 0. 64(0) → 1. 28(1) → 0. 28 → 0. 56(0) → 1. 12(1) → 0. 12 → 0. 24(0) 回到了 0. 24。 所以从 0. 24 开始，到下一个 0. 24 经过的二进制位是（从第一次乘 2 开始）： 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 … 太长，需要确定循环节起点。 --- 实际上，0. 24 十进制转二进制循环节是 20 位吗？ 我们看简短验证： - 0. 24×2=0. 48 (0) - 0. 48×2=0. 96 (0) - 0. 96×2=1. 92 (1), 剩0. 92 - 0. 92×2=1. 84 (1), 剩0. 84 - 0. 84×2=1. 68 (1), 剩0. 68 - 0. 68×2=1. 36 (1), 剩0. 36 - 0. 36×2=0. 72 (0), 剩0. 72 - 0. 72×2=1. 44 (1), 剩0. 44 - 0. 44×2=0. 88 (0), 剩0. 88 - 0. 88×2=1. 76 (1), 剩0. 76 - 0. 76×2=1. 52 (1), 剩0. 52 - 0. 52×2=1. 04 (1), 剩0. 04 - 0. 04×2=0. 08 (0), 剩0. 08 - 0. 08×2=0. 16 (0), 剩0. 16 - 0. 16×2=0. 32 (0), 剩0. 32 - 0. 32×2=0. 64 (0), 剩0. 64 - 0. 64×2=1. 28 (1), 剩0. 28 - 0. 28×2=0. 56 (0), 剩0. 56 - 0. 56×2=1. 12 (1), 剩0. 12 - 0. 12×2=0. 24 (0), 剩0. 24 回到开头。 所以循环节是上面 20 步的整数部分序列： \[ (0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0,0,0,0,1,0,1,0) \] 即二进制小数部分循环节是： \[ 0. \overline{00111101011100001010} \] --- ### **5. 合并** \[ 6. 24_{10} = 110. \overline{00111101011100001010}_2 \] --- ### **6. 如果需要有限精度近似** 比如保留小数点后 12 位： 小数部分前 12 位：0. 24 ≈ 0. 001111010111 (对应上面循环节前 12 位) 所以 \[ 6. 24_{10} \approx 110. 001111010111_2 \] --- **最终答案（精确二进制）** \[ \boxed{110. \overline{00111101011100001010}} \]