好的，我们先一步步来推理

--- ## 1. 题目回顾 题中描述： - 函数 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处可导。 - 极限 \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(f(x))}{x} = A \] 已知 \( f(0) = 0 \) 吗？ 题里没说，但极限存在要求分子在 \(x \to 0\) 时趋于 0，否则极限会是无穷大（除非 \(A=0\) 但题给 \(A \neq 0\)）。 因此必须有： \[ \lim_{x \to 0} \sin(f(x)) = 0 \implies \lim_{x \to 0} f(x) = n\pi \] 但 \(f\) 在 \(0\) 处可导 ⇒ 连续 ⇒ \(f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = n\pi\)，其中 \(n\) 是整数。 如果 \(n \neq 0\)，比如 \(f(0) = \pi\)，那么 \(\sin(f(0)) = 0\) 没问题，但导数计算会如何？ 我们待会看。 --- ## 2. 极限化简 已知极限： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(f(x))}{x} = A \quad (A \neq 0) \] 令 \(t = f(x)\)，当 \(x \to 0\)，由连续性 \(t \to f(0)\)。 若 \(f(0) \neq 0\) 且 \(f(0) \neq k\pi\)，则 \(\sin(f(0)) \neq 0\)，那么 \(\sin(f(x))/x \to \pm \infty\)（除非 \(f(0)\) 使得 \(\sin(f(0))=0\)），所以必须 \(\sin(f(0)) = 0\) 才能有非无穷极限。 所以 \(f(0) = m\pi\)，\(m \in \mathbb{Z}\)。 --- ## 3. 极限存在非零 设 \(f(0) = m\pi\)，那么 \(\sin(f(x)) = \sin(f(x)-m\pi + m\pi)\)，注意 \(\sin(m\pi + y) = (-1)^m \sin y\)。 令 \(g(x) = f(x) - m\pi\)，则 \(g(0)=0\)，并且 \[ \sin(f(x)) = (-1)^m \sin(g(x)). \] 于是原极限： \[ \lim_{x \to 0} \frac{(-1)^m \sin(g(x))}{x} = A. \] 即 \[ (-1)^m \lim_{x \to 0} \frac{\sin(g(x))}{g(x)} \cdot \frac{g(x)}{x} = A. \] 我们知道 \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1\)，且 \(g(x) \to 0\)，所以： \[ (-1)^m \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = A. \] 但 \(g'(0) = f'(0)\) 因为 \(g(x) = f(x) - m\pi\)。 因此： \[ (-1)^m f'(0) = A. \] --- ## 4. 原题选项 原题问：极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \) 等于多少？ 由上面推导： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0). \] 而从 \((-1)^m f'(0) = A\)，得 \(f'(0) = (-1)^m A\)。 但 \(m\) 未知，是 \(f(0) = m\pi\) 中的整数。 不过如果 \(m\) 是偶数，\((-1)^m = 1\) ⇒ \(f'(0) = A\)； 如果 \(m\) 是奇数，\((-1)^m = -1\) ⇒ \(f'(0) = -A\)。 题目并没有给出 \(f(0)\) 具体值，只给了极限 \(A\) 且 \(A \neq 0\)。 但 \(f\) 在 \(0\) 可导 ⇒ 连续，所以 \(f(0)\) 是某个整数倍的 \(\pi\)。 然而题目可能默认 \(f(0) = 0\)（常见题设），否则答案不确定。 一般此类题隐含 \(f(0) = 0\)，因为这样最简单且符合“可导”时常用特例。 --- ## 5. 若 \(f(0) = 0\)（即 \(m=0\)） 则 \((-1)^m = 1\)，于是： \[ f'(0) = A. \] 于是： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) = A. \] 所以选 \(A\)。 --- ## 6. 检查选项 常见选择题选项有： \[ \text{(A)}\ A, \quad \text{(B)}\ \frac{A}{f'(0)}, \quad \text{(C)}\ \frac{A}{f(0)} \ (\text{错，分母0}), \quad \text{(D)}\ 0 \] 显然正确是 (A) \(A\)（在 \(f(0)=0\) 的常规假设下）。 --- **最终答案：** \[ \boxed{A} \] 这是在通常题设 \(f(0) = 0\) 下的结果。